積分

説明

積分ツールは、台形公式を使用してアクティブデータプロットに数値積分を実行します。数学的面積 (台形の代数的総計) または 絶対値面積 (絶対台形値の総計)を選択できます。欠損値がある場合無視されます。

1.1 積分ツールを使用する

データを入力した、新しいワークシートを作成します。
ワークブックにあるデータを選択します。
その後メニューから、解析： 数学： 積分を選び、integ1ダイアログボックスを開きます。

integ1 Xファンクションが呼び出されて計算を実行します。結果の面積、ピークの位置、ピーク幅、ピーク高さ(X軸からの最大の振れ) を結果ログに出力するオプションを利用できます。さらに、曲線の両端を結んだシンプルなベースラインを使用して積分を実行するか選んだり、積分曲線をプロットするか選択できます。

ダイアログオプション

結果ログの出力	面積、ピーク位置、ピーク幅、ピーク高さを結果ログに出力するかどうか選択します。
再計算	分析結果の再計算を制御します。なし自動手動詳細は、こちらを確認してください：分析結果の再計算
入力	積分する入力データを指定します。範囲制御についてはこちらを確認してください：入力データを指定する
最終ポイントでの直線を基線に使用	最終ポイントを横切る直線を作成し、それを積分計算の基線として用いるかを指定します。
領域の種類	積分領域の種類を指定します。詳細については、以下のアルゴリズムのセクションをご覧下さい。数学的面積面積は台形の代数的総計で求められます。絶対値面積面積は絶対台形値の総計で求められます。
出力する値	積分結果ボックス(下図)にチェックを入れて、出力する内容を指定します。データセット識別子積分結果ボックスにチェックが入っているときは、どのデータセット識別子を使うか選択します。開始の行番号開始行のインデックスを出力するかどうかを指定します。終了の行番号終了行のインデックスを出力するかどうかを指定します。開始X 開始X値を出力するかどうかを指定します。終了X 最終X値を出力するかどうかを指定します。最大高さ基線から計算する最大の高さを出力するかどうか指定します。最大高さでのX 最大高さに対応する X値の出力を指定します。面積図積分面積を出力するかどうかを指定します。 FWHM FWHM、元の曲面の半分の高さでの幅、を出力するかどうかを指定します。 Note: X値の始まりと終わり及び積分面積は、出力する値、Xの開始、 Xの終了及び面積が可能になっているかに関係なく、積分結果列のコメント行に出力されます。
積分曲線のデータ	累積結果の範囲を指定します。
積分結果	レポートシートに積分の結果を出力するかどうかを指定します。
積分曲線をプロット	積分曲線を作図するかどうか指定し、プロットする場合はどこにプロットするか指定します。なし積分曲線をプロットしない。新しいグラフ新しいグラフに積分曲線をプロットします。ソースグラフソースグラフに積分曲線をプロットします。このオプションは、グラフウィンドウがアクティブな時のみ利用できます。
ソースグラフの再スケール	積分曲線をプロットするときにソースグラフを再スケールするか指定します。このオプションは積分曲線をプロットがソースグラフに指定されているときに使用できます。

アルゴリズム

数値積分の考え方として、近似関数による定積分を計算します。

$\int _{a}^{b}f(x)dx$

元のデータは離散しているので、2つの隣接する点を使って、近似する台形を作ります。

上図のように曲線を断片に分け、各台形の合計を計算し、以下によって積分を計算します。

$\int _{x_1}^{x_n}f(x)dx \approx \sum _{i=1}^{n-1}( x_{i+1} -x_i) \frac{1}{2}[f(x_{i+1})+f(x_i)]$

数学的面積と絶対値面積の違い

基線が $y=f(x_0 )\!$ であるとき、 $f(x)\!$ の数学的面積は以下のように計算できます。

$\int _{x_1}^{x_n} \left[f \left( x \right)-f \left( x_0 \right) \right] \,dx \approx \sum _{i=1}^{n-1} \frac{1}{2} \left( x_{i+1} -x_i \right) \left[ \left( f \left( x_{i+1} \right) -f \left( x_0 \right) \right) + \left( f \left( x_i \right) -f \left( x_0 \right) \right) \right]$

各台形面積絶対値の合計が計算された場合、絶対値面積となります。

$\int _{x_1}^{x_n} | \left[f \left( x \right)-f \left( x_0 \right) \right] | \,dx \approx \sum _{i=1}^{n-1} \frac{1}{2} \left( x_{i+1} -x_i \right) | \left[ \left( f \left( x_{i+1} \right) -f \left( x_0 \right) \right) + \left( f \left( x_i \right) -f \left( x_0 \right) \right) \right] |$

上図のように、基線 $y=f(x_0 )\!$ で曲線が5つの台形(もしくは三角形)に分割されています。各台形(もしくは三角形)の面積は以下によって計算されます。

$A_i = \frac{1}{2} \left( x_{i+1} -x_i \right) \left[ \left( f \left( x_{i+1} \right) -f \left( x_0 \right) \right) + \left( f \left( x_i \right) -f \left( x_0 \right) \right) \right]$