Algorithmen (t-Test bei verbundenen Stichproben)

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Diese Funktion wird verwendet, um zu testen, ob die Mittelwertdifferenz von zwei verbundenen Stichproben gleich \mu_d\,\! ist (d.h., um zu prüfen, ob ihre Mittelwerte gleich sind, können Sie einfach testen, ob ihre Differenz 0 ist, \mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\!). Die Hypothesen haben folgende Form:

H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\! vs. H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_dBeidseitiger Test

H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d vs. H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_dOberer Test

H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d vs. H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_dUnterer Test

Teststatistik

Gehen Sie von zwei Stichproben x_1\,\! und x_2\,\! aus, von denen angenommen wird, dass sie aus Grundgesamtheiten mit Normalverteilung stammen und die gleiche Größe haben. Dann kann die Differenz der verbundenen Stichproben definiert werden als:

d_j=x_{1j}-x_{2j},for(j=1,2,...,n)\,\!

Die mittlere verbundene Differenz beträgt:

\bar{d}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i

Dann können wir die Standardabweichung für die Differenz zwischen den verbundenen Datenpunkten s_d\,\! berechnen mit v = n-1 Freiheitsgraden als:

s_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(d_i-\bar{d})}

Danach wird die Teststatistik berechnet mit:

t=\frac{\bar{d}-\mu_d}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}}

Vergleichen Sie den t- Wert mit dem kritischen Wert. Wir weisen H_0\,\! zurück, wenn:

Für beidseitigen Test: |t| > t_{\sigma/2}\,\!;

Für oberen Test: t > t_\sigma\,\!;

Für unteren Test: t < -t_\sigma\,\!;

Der p-Wert wird auch mit einem anwenderdefinierten Signifikanzniveau \sigma\,\! verglichen, für das im Allgemeinen 0,05 verwendet wird. Die Nullhypothese H_0\,\! wird zurückgewiesen, wenn p < \sigma\,\!.

Konfidenzintervalle

Das Konfidenzintervall für die Mittelwertdifferenz bei verbundenen Stichproben (\mu_1 - \mu_2)\,\! ist:

Nullhypothese Konfidenzintervall
H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\! \left[\bar{d} - t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \bar{d} + t_{\alpha/2}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]
H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d \left[\bar{d} - t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}, \infty\right]
H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d \left[-\infty, \bar{d} + t_{\alpha}\frac{s_d}{\sqrt{n}}\right]

Analyse der Trennschärfe

Die Trennschärfe eines t-Tests bei zwei Stichproben ist ein Maß für seine Fehlererkennbarkeit. Einzelheiten zu dem Algorithmus zum Berechnen der Trennschärfe lesen Sie im Abschnitt Trennschärfe und Stichprobenumfang.