アルゴリズム(2群のt検定)

2群の t検定はスチューデントのt統計量と関連する確率を計算し、2つの標本の平均の差が $\mu_d\,\!$ に等しいかどうかを検定します(例：2つの平均が等しいかどうかを検定するにはその差が0、つまり $\mu_1-\mu_2=\mu_d=0\,\!$ であるかどうかを検定します)。そして、仮説は次の形式をとります。

$H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!$ Vs $H_1:\mu_1-\mu_2 \ne \mu_d$ 両側

$H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d$ Vs $H_1:\mu_1-\mu_2 > \mu_d$ 上側

$H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d$ Vs $H_1:\mu_1-\mu_2 < \mu_d$ 下側

検定統計量

標本サイズが $x_1\,\!$ と $x_2\,\!$ 、平均が $n_1\,\!$ と $n_2\,\!$ 、分散が $\mu_1\,\!$ と $\mu_2\,\!$ である2つの独立した標本 $\sigma_1^2\,\!$ と $\sigma_2^2\,\!$ が、2つの正規分布する母集団からそれぞれ得られたものだとすると、下記の式で表すことができます。

$\bar{x}_1=\frac{1}{n_1}\sum_{j=1}^{n_1}x_{1j}$ , $\bar{x}_2=\frac{1}{n_2}\sum_{j=1}^{n_2}x_{2j}$ , $s_1^2=\frac{1}{n_1-1}\sum_{j=1}^{n_1}{(x_{1j}-\bar{x}_1)^2}$ , $s_2^2=\frac{1}{n_2-1}\sum_{j=1}^{n_2}{(x_{2j}-\bar{x}_2)^2}$

ここで、 $\bar{x}_1\,\!$ と $\bar{x}_2\,\!$ は標本平均で、 $s_1^2\,\!$ と $s_2^2\,\!$ は標本分散です。そして、t 検定統計量を次の式で計算します。

ここでは、等しい分散であると仮定され、それは $\sigma_1^2=\sigma_2^2\,\!$ になります。

検定の統計量tは次のようになります。

$t=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-\mu_d}{s_p\sqrt{(1/n_1+1/n_2)}}$

これは自由度 $(v = n_1+n_2-2)$ を持つt 分布であり、

$s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}$

は、2つの標本のプール分散です。

等しい分散ではないと見なされる場合

通常の2標本の t統計量はt分布ではないので、近似した検定の統計量t'が使われます。

$t'=\frac{(\bar{x}_1-\bar{x}_2)-\mu_d}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}}$

そして、自由度vを持つt分布が、t’の分布の近似に使われます。

$v=\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2}{\frac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\frac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$

限界値を持つtの値を比較し、次の場合、帰無仮説 $H_0\,\!$ を棄却します。

両側検定： $|t| > t_{\sigma/2}\,\!$ ;

上側検定： $t > t_\sigma\,\!$ ;

下側検定： $t < -t_\sigma\,\!$ ;

p 値もユーザ指定の有意水準, $\sigma\,\!$ と比較され、その値は通常0.05が使われます。帰無仮説 $H_0\,\!$ は、 $p < \mu\,\!$ の場合棄却されます。

信頼区間

上側と下側 $(1-\sigma )\times 100\%$ の平均の相違に対する信頼水準 $(\mu_1 - \mu_2)\,\!$ は次のように計算されます。

等しい分散であると見なされる場合

帰無仮説	信頼区間
$H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!$	$\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]$
$H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d$	$\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}, \infty\right]$
$H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d$	$\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right]$

等しい分散ではないと見なされる場合

帰無仮説	信頼区間
$H_0:\mu_1-\mu_2=\mu_d\,\!$	$\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]$
$H_0:\mu_1-\mu_2 \le \mu_d$	$\left[(\bar{x}_1-\bar{x}_2)- t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}, \infty\right]$
$H_0:\mu_1-\mu_2 \ge \mu_d$	$\left[-\infty, (\bar{x}_1-\bar{x}_2)+ t_{\alpha}\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\right]$