有理関数のパラメータ初期化

RationalFunc-InitialParameter

サマリー

このチュートリアルでは、複数線形回帰法を使って有理フィット関数の初期パラメータを計算する方法を示します。また、計算された初期パラメータを使用してフィットを実行します。

必要なOriginのバージョン: Origin 9.0 SR0以降

学習する項目

このチュートリアルでは、以下の項目について解説します。

• 有理フィット関数用の初期パラメータを計算する
• OriginCのコードを使って複数の線形回帰を行う

サンプルとステップ

アルゴリズム

このチュートリアルでは、次の有理関数を例として使用します。

xは独立変数、yは従属変数、a, b, c, d, eは全てフィットパラメータです。

両辺を右辺の分母で掛けると、次のようになります。

この数式は次のように表現できます。

フィットデータ を数式に代入すると、次のようになります。

よって、有理多項フィット関数の初期パラメータを推定するのは、線形係数としてa, b, c, d, eを持つ、複数の線形回帰の問題に変形します。つまり、次のような式になります。

Originは複数線形回帰のための関数ocmath_複数線形回帰をOriginCから提供しており、初期化コードで呼び出すことができます。

データのインポート

1. 新規ワークブックを作成します。
2. サンプルデータ の内容をワークブックにコピーします。
3. 列Bを選択し、メニューから作図： シンボル図：散布図 と操作します。グラフは次のようになります。

フィット関数の定義と初期化パラメータ

フィット関数は、フィット関数ビルダーツールを使用して定義できます。

1. メニューから、ツール：フィット関数ビルダーを選択します。
2. フィット関数ビルダーダイアログの処理のゴールページで進むのボタンをクリックします。
3. 関数名と関数形式のページでは関数カテゴリーの選択/新規名称のドロップダウンリストからUser Definedを選択します。次に関数名のエリアに rationalfuncと入力し、関数形式で算術式を選びます。進むボタンをクリックします。
4. 変数とパラメータのページでは、パラメータエリアにa, b, c, d, eを入力します。進むボタンをクリックします。
5. 式形式の関数ページで、以下のスクリプトを関数内容編集ボックスに入力します。

   (a+b*x+c*x^2)/(1+d*x+e*x^2)
           
   

   評価ボタンをクリックすると、x=1の時にy=1であると示しているので、数式は正しいことを示しています。進むボタンをクリックします。

6. パラメータ初期化ルーチンページでは、初期化コードボックスの右側にある、コードビルダを開くボタンをクリックします。フィットパラメータをalgorithmの記述に沿って初期化します。

   UINT nOSizeN = x_data.GetSize(); //ポイントの数
     UINT nVSizeM = 5; //パラメータの数
    
     matrix mX(nOSizeN, 5);
    
     //独立変数のデータポイントのための行列を作成する
     vector vCa(nOSizeN), vCb, vCc, vCd, vCe;
     vCa = 1;
     mX.SetColumn( vCa, 0 );
     vCb = x_data;
     mX.SetColumn( vCb, 1 );
     vCc = x_data^2;
     mX.SetColumn( vCc, 2 );
     vCd = -x_data*y_data;
     mX.SetColumn( vCd, 3 );
     vCe = -x_data^2*y_data;
     mX.SetColumn( vCe, 4 );
    
     //複数の線形回帰オプション
     LROptions stLROptions;
     stLROptions.UseReducedChiSq = 1;
     stLROptions.FixIntercept = 1; //交点を0に固定FitParameter stFitParameters[ 6 ]; // nVSizeM+1 となるはずです
     UINT nFitSize = nVSizeM + 1;
    
     int nRet = ocmath_multiple_linear_regression(mX, nOSizeN, nVSizeM, y_data, 
       NULL, 0, &stLROptions, stFitParameters, nFitSize );
    
     if( nRet == STATS_NO_ERROR )
     {
       a = stFitParameters[1].Value;
       b = stFitParameters[2].Value;
       c = stFitParameters[3].Value;
       d = stFitParameters[4].Value;
       e = stFitParameters[5].Value;
     }
           
   

   コンパイルボタンをクリックしてファイルをコンパイルします。NLSFに戻るボタンをクリックします。完了をクリックして、フィット関数ビルダーダイアログを閉じます。

曲線をフィットする

1. 解析：フィット：非線形曲線フィットをメニューから選択します。NLFitダイアログで、設定：関数選択を選び、カテゴリドロップダウンリストからUser Definedを選びます。そして関数ドロップダウンリストではrationalfuncを選びます。
2. パラメータタブをクリックします。パラメータタブを開くと、初期化コードから初期化パラメータが計算されてダイアログにあらかじめ入力されます。そして、初期パラメータ用のフィット関数は次のようになります。初期化コードから算出された初期パラメータはとても良いようです。
   
3. フィットボタンをクリックし、フィットを行います。

フィット結果

フィット曲線は次のようになります。

フィットパラメータは以下の通りです。

サンプルデータ