アルゴリズム(分布フィット)
distribution-fit-Algorithm
変数に分布をフィットするために分布フィットを使用します。
与えられた変数のフィットには、7つの分布を使用できます。パラメータ推定量として最尤法を計算します。いくつかの連続分布では、信頼限界だけでなくフィットの良さの検定を利用できます。
分布と最尤法(MLE)
正規分布
PDF
-
![\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp [-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-7185152b716035521a23a68b77203be4.png "\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp [-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}]")
ここで /math-49b0e58e1dd5014c08e10261bb1d461b.png "-\infty <x, \mu<\infty") かつ/math-528254e4a948602b02ee9f265f38740f.png "0 < \sigma") です。/math-76fdc225d2f2211e1519863b802d6709.png "E(X)=\mu") と /math-14c206e7f7d57210bef18b81baaafc8a.png "Var(X)=\sigma^2") です。
最尤法(MLE)
パラメータ
/math-da64b80aec46ed0c4069115594fd16fd.png "\hat{\mu} = \bar{X}_n") /math-d93c5053992c5fef361caa8fbfd6d1e0.png "\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2}") .
信頼区間
/math-c9faf6ead2cd2c2187bd943488de1d0a.png "\mu") と /math-a2ab7d71a0f07f388ff823293c147d21.png "\sigma") の信頼区間は
![\left[ \hat{\mu} - z \hat{\mu}_{se}, \hat{\mu} + z\hat{\mu}_{se} \right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-ce2e8d2b0c42adb8837e69b4adc2606e.png "\left[ \hat{\mu} - z \hat{\mu}_{se}, \hat{\mu} + z\hat{\mu}_{se} \right]")
![\left[ \frac{\hat{\sigma}}{\exp \left[ (z \hat{\sigma}_{se})/\hat{\sigma} \right]},\hat{\sigma}\exp \left[ (z \hat{\sigma}_{se})/\hat{\sigma} \right] \right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-0535dfa29e418e5d578e22cbf35fee81.png "\left[ \frac{\hat{\sigma}}{\exp \left[ (z \hat{\sigma}_{se})/\hat{\sigma} \right]},\hat{\sigma}\exp \left[ (z \hat{\sigma}_{se})/\hat{\sigma} \right] \right]")
ここで /math-fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png "z") は、信頼水準 /math-cde2231b7ed96e7c94d4d02b1a0715d5.png "95\%") の標準正規分布の /math-c30bc392f593aa6950e0b2c260534e68.png "0.975") 棄却値です。/math-149dace5c8ac18f6b902df281d6b9e62.png "\hat{\mu}_{se}") は、/math-237d6e4519dd1de11a647716b37457f7.png "\hat{\sigma}_{se}") がである時のの標準誤差です。
対数正規分布
PDF
![\frac{1}{x\sqrt{2\pi \sigma^2}} exp\left[ -\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-3445b6d79ccc732f12131d5a2ea72f25.png "\frac{1}{x\sqrt{2\pi \sigma^2}} exp\left[ -\frac{(\ln(x)-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]")
ここで /math-10c7c1bfff8e4bcf3303c2f64074d424.png "0 \leq x, -\infty < \mu < \infty") かつ/math-f655a612a67bcad76b1eef0ec3941f9e.png "0 < \sigma") です。/math-5bba238f59c9a8caeb43e786d3702613.png "E(X)=exp(\mu + \sigma^2/2)") と /math-43de677b47e0ac3bb214060a9e5b3d94.png "Var(X)=exp(2(\mu + \sigma^2)) -exp(2\mu + \sigma^2 )") です。
最尤法(MLE)
パラメータ
/math-3ce36b54ba5e954002575e762522c35b.png "\hat{\mu} = ln\left(\bar{X}_n \right)") /math-e7912f2225843710a3931acacc584d0a.png "\hat{\sigma} =ln\left(\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}_n)^2} \right)") .
信頼区間
と の信頼区間は
![\left[ \hat{\mu} - z \hat{\mu}_{se}, \hat{\mu} + z \hat{\mu}_{se} \right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-9f42c3e58301ad6809667e7761678ba3.png "\left[ \hat{\mu} - z \hat{\mu}_{se}, \hat{\mu} + z \hat{\mu}_{se} \right]")
ここで は、信頼水準 の標準正規分布の 棄却値です。 は、がである時のの標準誤差です。
ワイブル分布
PDF
![\frac{\beta}{\alpha^\beta}x^{\beta -1} exp\left[ -\left(\frac{x}{\alpha}\right)^\beta\right],](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-930e3969310050c9b005c63c3e55c587.png "\frac{\beta}{\alpha^\beta}x^{\beta -1} exp\left[ -\left(\frac{x}{\alpha}\right)^\beta\right],")
ここで、/math-89d8caf054af6cb4d5b227ed3c6f371c.png "\alpha , \beta > 0") です。/math-88632a2aee115afccf082f1aa0c5df81.png "E(X)=\alpha \Gamma \left(1+ \frac{1}{\beta}\right)") と /math-bc0d001ccd32f6d9b8d24d2b2e15bbc2.png "Var(X)=\alpha ^2 \{ \Gamma \left(1+\frac{2}{\beta}\right) -\Gamma ^2 \left(1+\frac{1}{\beta} \right) \}") です。
最尤法(MLE)
Originは、ワイブル分布の統計の(MLE) のためにNAG関数 nag_estim_weibull (g07bec) を呼び出します。アルゴリズムについての詳細は、関連のNAG文書を参照して下さい。
指数分布
PDF
![\frac{1}{\sigma} exp\left[ -\frac{x}{\sigma}\right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-93211aca5cc18a198a16fa64a16d62bc.png "\frac{1}{\sigma} exp\left[ -\frac{x}{\sigma}\right]")
ここで かつです。/math-083da1d1605e96215a0ef4087aafdd8b.png "E(X)=\sigma") と です。
最尤法(MLE)
パラメータ
/math-c96984e0d1a4829be70e0ff58aec9097.png "\hat{\sigma} = \bar{X}_n")
信頼区間
の信頼区間は
ここで は、信頼水準 の標準正規分布の 棄却値です。 は の標準誤差です。
ガンマ分布
PDF
/math-353d8a8e32ffc83a95afced239dffabb.png "\frac{1}{\Gamma(\alpha)\sigma^\alpha}x^{\alpha -1} exp(-x/\sigma),")
ここで、/math-14750740bcb034accaf628fa17200f81.png "\alpha , \sigma > 0") です。/math-bf04b662a73d46d27594a8f55662b4a0.png "E(X)=\alpha \sigma") と /math-535eac68cc84673d74c4a8f87ab7ed63.png "Var(X)=\alpha \sigma ^2") です。
最尤法(MLE)
パラメータ
/math-7b7f9dbfea05c83784f8b85149852f08.png "\alpha") と のMLEを手動で計算するのは、簡単ではありません。しかし、Newton-Raphsonメソッドを使用すれば、簡易化できます。尤度関数の平方根を生成するために、次式であらわされる、適切な初期推定値が必要です。 /math-441cf37268328fc4942de17036c5049b.png "\alpha_0 = \frac{3-s+\sqrt{(s-3)^2+24s}}{12s}$,where $s = \ln \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i \right) - \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\ln (x_i).")
信頼区間
と /math-2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.png "\theta") の信頼区間は
![\left[ \hat{\alpha} - z \hat{\alpha}_{se}, \hat{\alpha} + z\hat{\alpha}_{se} \right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-0db75f463c71582cbdca0e76f50541cc.png "\left[ \hat{\alpha} - z \hat{\alpha}_{se}, \hat{\alpha} + z\hat{\alpha}_{se} \right]")
![\left[ \frac{\hat{\theta}}{\exp \left[ (z \hat{\theta}_{se})/\hat{\theta} \right]},\hat{\theta}\exp \left[ (z \hat{\theta}_{se})/\hat{\theta} \right] \right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-7d5a0986370f7911ef882a0e600e072e.png "\left[ \frac{\hat{\theta}}{\exp \left[ (z \hat{\theta}_{se})/\hat{\theta} \right]},\hat{\theta}\exp \left[ (z \hat{\theta}_{se})/\hat{\theta} \right] \right]")
ここで は、信頼水準 の標準正規分布の 棄却値です。/math-3a0c8cf56b8e3103e12d08f326b58db2.png "\hat{\alpha}_{se}") は、/math-49c2974272e9431d0dca0e2f27076a33.png "\hat{\theta}_{se}") がである時のの標準誤差です。
二項分布
PDF
/math-313a3bb44b8fb85a48fe2601a729ae2c.png "\left( \begin{matrix} n \\ x \end{matrix}\right) p^x (1-p)^{n-x},")
ここで /math-8f4ea9a0cdd8693a22df6edd418d412b.png "0 \leq p \leq 1") かつ/math-7de81659bbfe6e4c1426ff94c5d1aa6c.png "x=0,1,2,...,n") です。/math-2c0251c0d9c6721f02a4aff7f0bf9e1a.png "E(X)=np") と /math-dff83f60b9fb185f3ef6ac4b3d6a1dc4.png "Var(X)=np(1-p)") です。与えられた成功数 /math-9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png "x") とサンプルサイズ /math-7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png "n") です。
最尤法(MLE)
パラメータ
/math-27844e8d6f75a01cafa467a5fb783f6a.png "\hat{p} = x/n")
信頼区間
![\left[\frac{1}{1+z^2/n}\left(\hat{p}+\frac{z^2}{2n} - z \sqrt{\frac{1}{n}\hat{p}(1-\hat{p})+\frac{z^2}{4n^2}}\right),\frac{1}{1+z^2/n}\left(\hat{p}+\frac{z^2}{2n} + z \sqrt{\frac{1}{n}\hat{p}(1-\hat{p})+\frac{z^2}{4n^2}}\right)\right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-f3d50d49217ea8b0292780d0368d1468.png "\left[\frac{1}{1+z^2/n}\left(\hat{p}+\frac{z^2}{2n} - z \sqrt{\frac{1}{n}\hat{p}(1-\hat{p})+\frac{z^2}{4n^2}}\right),\frac{1}{1+z^2/n}\left(\hat{p}+\frac{z^2}{2n} + z \sqrt{\frac{1}{n}\hat{p}(1-\hat{p})+\frac{z^2}{4n^2}}\right)\right]")
ここで は、信頼水準 の標準正規分布の 棄却値です。
ポアソン分布
PDF
/math-bcbf3ebb2bb81a74b70f00c2720a5ab8.png "e^{-\lambda}\frac{{\lambda}^x}{x!},")
ここで、/math-cb7443ecb882dbc563b5ef6a7882deb7.png "x=1,2,...,n") です。/math-062fecedb9cebe34535a0ab182b49123.png "E(X)=Var(X)=\lambda") です。
最尤法(MLE)
パラメータ
/math-16b37f87978936f10afe731963846c28.png "\hat{\lambda} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k") .
信頼区間
/math-c6a6eb61fd9c6c913da73b3642ca147d.png "\lambda") の信頼区間は
![\left[ \hat{\lambda} - z \sqrt{\hat{\lambda}}, \hat{\lambda} + z \sqrt{\hat{\lambda}} \right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-c48a8dbb31f94b38dff287f355edda4d.png "\left[ \hat{\lambda} - z \sqrt{\hat{\lambda}}, \hat{\lambda} + z \sqrt{\hat{\lambda}} \right]")
ここで は、信頼水準 の標準正規分布の 棄却値です。
フィットの良さ
Kolmogorov-Smirnov
Originは、この統計量を計算するのに、NAG関数nag_1_sample_ks_test (g08cbc) を呼び出します。アルゴリズムについての詳細は、関連のNAG文書を参照して下さい。
Kolmogorov-Smirnov(修正)
修正Kolmogorov-Smirnov 統計は、異なる分布をベースにしたKolmogorov-Smirnov 統計の修正です。
Kolmogorov-Smirnov のp値は、D’Agostino と Stephens (1986)による以下の棄却値表をベースにして計算されます。Dの値が2つの確率レベル間にある場合、p値の推定に線形補間が使用されます。
ここで /math-e4f7629b574dd05d19a2107c87806700.png "D_n") は、Kolmogorov-Smirnov 統計です。
正規/対数正規分布
/math-c7904070be3a74d551bb739c1e1302aa.png "D=D_n\left(\sqrt{N}-0.01+\frac{0.85}{\sqrt{N}}\right)")
| D |
<0.775 |
0.775 |
0.819 |
0.895 |
0.995 |
1.035 |
>1.035 |
| P値 |
>=0.15 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
<=0.01 |
ワイブル分布
/math-840a6ff93f6a973714de5aefc582e522.png "D=D_n\sqrt{N}")
| D |
<1.372 |
1.372 |
1.477 |
1.577 |
1.671 |
>1.671 |
| P値 |
>=0.1 |
0.1 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
<=0.01 |
指数分布
/math-51f418b7ba803de514cf1c2175443db6.png "D=\left(D_n-\frac{0.2}{N}\right)\left(\sqrt{N}+0.26+\frac{0.5}{\sqrt{N}}\right)")
| D |
<0.926 |
0.926 |
0.995 |
1.094 |
1.184 |
1.298 |
>1.298 |
| P値 |
>=0.15 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
<=0.01 |
ガンマ分布
/math-b40216015b4648e578387227d5b2f4fa.png "D=D_n\left(\sqrt{N}+\frac{0.3}{\sqrt{N}}\right)")
| D |
<0.74 |
0.74 |
0.780 |
0.800 |
0.858 |
0.928 |
0.990 |
1.069 |
1.13 |
>1.13 |
| P値 |
>=0.25 |
0.25 |
0.20 |
0.15 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
0.005 |
<=0.005 |
Anderson-Darling
-
![z=-N-\sum_{i=1}^n\frac{(2i-1)}{N}\left[lnF(Y_i)+ln(1-F(Y_{N+1-i})\right]](//d2mvzyuse3lwjc.cloudfront.net/doc/ja/UserGuide/images/Algorithm(Distribution_Fit)/math-d461965280138227f5da76f80d9689bd.png "z=-N-\sum_{i=1}^n\frac{(2i-1)}{N}\left[lnF(Y_i)+ln(1-F(Y_{N+1-i})\right]") - ここで
/math-800618943025315f869e4e1f09471012.png "F") は指定した分布の累積分布関数を表しています。/math-762c0f38c71ffa6e93f0a1daab55ab04.png "Y_i") は順序データです： /math-c185391949923d8da4f48411bbf33384.png "Y_{1} \leq Y_2 \leq ... \leq Y_{n-1} \leq Y_n")
- P値
- 調整されたAnderson-Darlingのp値は、D’Agostino と Stephens (1986)による以下の棄却値表をベースにして計算されます。
/math-2b95531f1ae4208e8e5f0b27495271cf.png "z^{*}") の値が2つの確率レベル間にある場合、p値の推定に線形補間が使用されます。
正規/対数正規分布
-
/math-6bf71347f7d61098150247a2bfda2084.png "z^*=z\left(1 + \frac{0.75}{N}+\frac{2.25}{N^2}\right)")
-
/math-2a2b67918133d13a2817e65f322caf5c.png "p=\begin{cases} 1-e^{-13.436+101.14z^{*}-223.73z^{*2}}, z^{*} \leq 0.2\ 1-e^{-8.318+42.796z^{*}-59.938z^{*2}}, 0.2 < z^{*} \leq 0.34\ e^{0.9177-4.279z^{*}-1.38z^{*2}}, 0.34 < z^{*} \leq 0.6\ e^{1.2937-5.709z^{*}+0.0186z^{*2}}, z^{*} \geq 153.467 \end{cases}")
ワイブル分布
- 調整Anderson-Darling 統計
/math-bfd9a1456c6783613b0d73f4575e32e8.png "z^{*}=\left(1+\frac{0.2}{N}\right)")
|
<0.474 |
0.474 |
0.637 |
0.757 |
0.877 |
1.038 |
>1.038 |
| P値 |
>=0.25 |
0.25 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
<=0.01 |
指数分布
- 調整Anderson-Darling 統計
/math-32701776e64a36ed14a21051a388193f.png "z^{*}=z\left(1+\frac{0.6}{N}\right)")
-
/math-1c9ae14bd39f8568fd2bb50af62206c8.png "p=\begin{cases} 1-e^{-12.2204+67.459z^{*}-110.3z^{*2}}, z^{*} \leq 0.26\ 1-e^{-6.1327+20.218z^{*}-18.663z^{*2}}, 0.26 < z^{*} \leq 0.51\ e^{0.9209-3.353z^{*}-0.3z^{*2}}, 0.51 < z^{*} \leq 0.95\ e^{0.731-3.009z^{*}+0.15z^{*2}}, 0.95 < z^{*} \leq 10.03\ 0, z^{*} \geq 10.03 \end{cases}")
ガンマ分布
/math-2e66a001f9537949375c83eeda12ae32.png "0 < \alpha \leq 1")
|
<0.486 |
0.486 |
0.657 |
0.786 |
0.917 |
1.092 |
1.227 |
>1.227 |
| P値 |
>=0.25 |
0.25 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
0.005 |
<=0.005 |
/math-06bc584d4dbbd570df241691d426a54e.png "1 < \alpha \leq 8")
|
<0.473 |
0.473 |
0.637 |
0.759 |
0.883 |
1.048 |
1.173 |
>1.173 |
| P値 |
>=0.25 |
0.25 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
0.005 |
<=0.005 |
/math-5b341847c85146df515c5a692ae03852.png "\alpha \geq 8")
|
<0.470 |
0.470 |
0.631 |
0.752 |
0.873 |
1.035 |
1.159 |
>1.159 |
| P値 |
>=0.25 |
0.25 |
0.10 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
0.005 |
<=0.005 |
平均値検定
Z検定
検定統計量
/math-a074c6fdd2993c2507a84df9287219ea.png "t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}")
ここで
-
P値
/math-44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png "P") は、推定正規検定統計 /math-21c2e59531c8710156d34a3c30ac81d5.png "Z") をベースにして返されます。
信頼区間
指定した有意水準で、標本の平均に対する信頼区間は次式になります。
T検定
アルゴリズム(1集団のt検定)
|